求，其中∑为下半球面∑：的上侧，a为大于零的常数．

admin2022-07-21 86

问题求

，其中∑为下半球面∑：

的上侧，a为大于零的常数．

选项

答案方法一用高斯公式由于∑不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式．设∑₁为z=0(x²+y²≤a²)的下侧，用Ω表示∑和∑₁围成的半球体区域，则∑和∑₁构成Ω边界内侧，如图2-6-11．但被积函数在点(0，0，0)不存在，仍不能用高斯公式．注意到曲面∑上有x²+y²+z²=a²，所以 [*] 在∑和∑₁围成的区域内运用高斯公式，得 [*] 由于∑₁为下侧，故 [*] 其中D_xy是∑₁在xOy面上的投影区域，于是 [*] 方法二直接化为二重积分计算令[*]，由于∑是球面上侧，在xOy面上的投影区域为D_xy：x²+y²≤a²，所以 [*] 为计算I₁需要将∑分为前后两部分[*]，∑₁为后侧，∑₂为前侧，他们在yOz平面上的投影区域均为D_yz：y²+z²≤a²，z≤0，所以 [*]

解析

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考研数学二

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