设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α1=(1,2,2)T和α2=(0,2,1)T分别是(A—E)X=0的(A+E)X=0的解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求矩阵A.

admin2018-11-20  41

问题 设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α1=(1,2,2)T和α2=(0,2,1)T分别是(A—E)X=0的(A+E)X=0的解.
    (1)求A的特征值与特征向量.
    (2)求矩阵A.

选项

答案(1)α1=(1,2,2)T是(A—E)X=0的解,即Aα11,于是α1是A的特征向量,特征值为1. 同理得α2是A的特征向量,特征值为一1. 记α3=(1,1,1)T,由于A的各行元素之和都为2,Aα3=(2,2,2)T=2α3,即α3也是A的特征向量,特征值为2. 于是A的特征值为1,一1,2. 属于1的特征向量为cα1,c≠0. 属于一1的特征向量为cα2,c≠0. 属于2的特征向量为cα3,c≠0. (2)建立矩阵方程A(α1,α2,α3)=(α1,一α2,2α3),用初等变换法解得 [*]

解析
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