已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

admin2020-01-15 38

问题已知ζ＝(-1，2，-3)^T是矩阵A＝

的一个特征向量。
(Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ；
(Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

选项

答案(Ⅰ)A的特征向量ζ对应的特征值为λ，则Aζ＝λζ，即 [*]，得方程组[*] 解得a＝﹣1，b＝4，λ＝6。 (Ⅱ)根据a＝﹣1，b＝4可得矩阵A＝[*]，则 [*]，由矩阵A的特征值分别为λ₁＝6，λ₂＝2(二重)。当λ＝6时，(6E－A)x＝[*]＝0，解得特征向量为ζ₁＝[*]；当λ＝2时，(2E-A)x＝[*]＝0，解得特征向量为ζ₂＝[*]，ζ₃＝[*]。令P＝(ζ₁，ζ₂，ζ₃)＝[*]，则有P^﹣1AP＝[*]。

解析

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考研数学二

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已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

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