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  3. (2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )

(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )

admin2019-07-12  28
问题 (2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是(    )
选项 A、若u1＞u2，则(un}必收敛
B、若u1＞u2，则{un}必发散
C、若u1＜u2，则{un}必收敛
D、若u1＜u2，则{un}必发散
答案D
解析 方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；
    设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；
    设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。故应选D。
    方法二：由拉格朗日中值定理，有
             un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，
其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
    由f"(x)＞0知，f′(x)单调增加，故
             f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，
所以
                 
于是当u2一u1＞0时，有故选D。
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