设数列{an},{bn}满足ebn=ean-an,且an>0,n=1,2,3,…,证明: (Ⅰ)bn>0; (Ⅱ)若收敛,则收敛。

admin2019-01-15  79

问题 设数列{an},{bn}满足ebn=ean-an,且an>0,n=1,2,3,…,证明:
(Ⅰ)bn>0;
(Ⅱ)若收敛,则收敛。

选项

答案(Ⅰ)由幂级数展开式[*]可知,当x≠0时,ex-x>1恒成立。 再由an>0可得,ebn=ean-an>1=e0,故bn>0。 (Ⅱ)由ebn=ean-an可得,bn=In(ean-an)。 因为an>0,且级数[*]收敛,所以[*],则[*]。再结合[*],可知 [*] 由比较审敛法的极限形式可知,级数[*]收敛。

解析
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