设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明： (Ⅰ)bn＞0； (Ⅱ)若收敛，则收敛。

admin2019-01-15 109

问题设数列{a_n}，{b_n}满足e^b_n=e^a_n-a_n，且a_n＞0，n=1，2，3，…，证明：
(Ⅰ)b_n＞0；
(Ⅱ)若

收敛，则

收敛。

选项

答案(Ⅰ)由幂级数展开式[*]可知，当x≠0时，e^x-x＞1恒成立。再由a_n＞0可得，e^b_n=e^a_n-a_n＞1=e⁰，故b_n＞0。 (Ⅱ)由e^b_n=e^a_n-a_n可得，b_n=In(e^a_n-a_n)。因为a_n＞0，且级数[*]收敛，所以[*]，则[*]。再结合[*]，可知 [*] 由比较审敛法的极限形式可知，级数[*]收敛。

解析

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考研数学三

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