设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明： (Ⅰ)bn＞0； (Ⅱ)若收敛，则收敛。

admin2019-01-15 125

问题设数列{a_n}，{b_n}满足e^b_n=e^a_n-a_n，且a_n＞0，n=1，2，3，…，证明：
(Ⅰ)b_n＞0；
(Ⅱ)若

收敛，则

收敛。

选项

答案(Ⅰ)由幂级数展开式[*]可知，当x≠0时，e^x-x＞1恒成立。再由a_n＞0可得，e^b_n=e^a_n-a_n＞1=e⁰，故b_n＞0。 (Ⅱ)由e^b_n=e^a_n-a_n可得，b_n=In(e^a_n-a_n)。因为a_n＞0，且级数[*]收敛，所以[*]，则[*]。再结合[*]，可知 [*] 由比较审敛法的极限形式可知，级数[*]收敛。

解析

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考研数学三

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(10年)设可导函数y＝y(χ)由方程＝∫0χχsint2dt确定，则＝_______．
(04年)设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中价格P∈(0，20)，Q为需求量．(Ⅰ)求需求量对价格的弹性Ed(Ed＞0)；(Ⅱ)推导＝Q(1－Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加．
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将下列函数展开为χ的幂级数．
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