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设f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,. (Ⅰ)证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=c; (Ⅱ)证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=1f’(ξ).
设f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,. (Ⅰ)证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=c; (Ⅱ)证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=1f’(ξ).
admin
2021-03-10
48
问题
设f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,
.
(Ⅰ)证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=c;
(Ⅱ)证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=1f’(ξ).
选项
答案
(Ⅰ)由[*]得[*] 令F(x)=[*],则F’(x)=f(x)-x, 因为F(0)=F(1)=0,所以存在c∈(0,1),使得F’(c)=0,即f(c)=c. (Ⅱ)令h(x)=f(x)-x,显然h(0)=h(c)=h(1)=0, 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,而h’(x)=f’(x)-1,故f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=1. 令[*](x)=e
x
[f’(x)-1],[*](ξ
1
)=[*](ξ
2
)=0, 存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使得[*](ξ)=0, 而[*](x)=e
x
[f"(x)+f’(x)-1]且e
x
≠0,故f"(ξ)=1-f’(ξ).
解析
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考研数学二
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