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  3. η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关．

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关．

admin2016-05-31  15
问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明：
η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关．
选项
答案假设η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得下式成立 c0η*+c1(η*+ξ1)+…+cn-r(η*+ξn-r)=0， 即 (c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0． (2) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A[(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r]=(c0+c1…+cn-r)Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=(c0+c1…+cn-r)b， 因为b≠0，故c0+c1+…+cn-r=0，代入(2)式，有c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，…，ξn-r线性无关，因此c1-c2=…=cn-r=0，即得c0=0．与假设矛盾． 综上，所给向量组η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关．
解析
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考研数学三

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