已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

admin2019-01-05 29

问题已知二次型2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)可用正交变换化为y₁²+2y₂²+5y₃²，求a和所作正交变换．

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是|A|=|B|=10．而|A|=2(9一a²)，得a²=4，a=2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1： [*] 得(A—E)X=0的同解方程组 [*] 得属于1的一个特征向量η₁=(0，1，一1)^T，单位化得γ₁=[*] 对于特征值2： [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组 [*] 得属于2的一个单位特征向量γ₂=(1，0，0)^T．对于特征值5： [*] 得(A一5E)X=0的同解方程组 [*] 得属于5的一个特征向量η₃=(0，1，1)^T，单位化得γ₃=[*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则正交变换X=QY把原二次型化为y₁²+2y₂²+5y₃².

解析

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考研数学三

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已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

考研数学三

设f（x）在[a，b]上有连续的导数，证明

用变量代换x=cost（0＜t＜π）化简微分方程（1—x2）y"—xy’+y=0，并求其满足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解。

设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数。（Ⅰ）写出f（x）在[—2，0）上的表达式；（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导。

设g（x）=其中f（x）在x=0处二阶可导，且f（0）=f’（0）=1。（Ⅰ）a，b为何值时，g（x）在x=0处连续；（Ⅱ）a，b为何值时，g（x）在x=0处可导。

求幂级数xn的收敛域及和函数。

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．试求曲线L的方程；

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=已知E(X)=2，P(1

设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1,α2,α3，令P=(α1一α3，α2+α3，α3)，则P1一1A*P1=()．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．求常数a，b的值；

设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且则

Whenscientistsconsiderthepossibleeffectsofglobalwarming,thereisalottheydon’tknow.Buttheycansayonethingfor

与人类肿瘤有关的病毒是

以滑膜炎为基本病理改变的风湿病是

A．增塑剂B．增稠剂C．着色剂D．避光剂E．芳香矫味剂

人类生态学的方法主要着眼于人类与()的关系。

资源共享包括(　　)。

实践可以分为三种基本类型：物质生产实践、社会政治实践、科学文化实践。其中塑造人与人之间关系的是()

Nowadays,amateurphotographyhasbecomeatroublingissue.Citizensofrichcountrieshavegotusedtobeingwatchedbyclosed-

已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

考研数学三

设f（x）在[a，b]上有连续的导数，证明

用变量代换x=cost（0＜t＜π）化简微分方程（1—x2）y"—xy’+y=0，并求其满足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解。

设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数。（Ⅰ）写出f（x）在[—2，0）上的表达式；（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导。

设g（x）=其中f（x）在x=0处二阶可导，且f（0）=f’（0）=1。（Ⅰ）a，b为何值时，g（x）在x=0处连续；（Ⅱ）a，b为何值时，g（x）在x=0处可导。

求幂级数xn的收敛域及和函数。

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．试求曲线L的方程；

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=已知E(X)=2，P(1

设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1,α2,α3，令P=(α1一α3，α2+α3，α3)，则P1一1A*P1=()．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．求常数a，b的值；

设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且则

Whenscientistsconsiderthepossibleeffectsofglobalwarming,thereisalottheydon’tknow.Buttheycansayonethingfor

与人类肿瘤有关的病毒是

以滑膜炎为基本病理改变的风湿病是

A．增塑剂B．增稠剂C．着色剂D．避光剂E．芳香矫味剂

人类生态学的方法主要着眼于人类与()的关系。

资源共享包括( )。

实践可以分为三种基本类型：物质生产实践、社会政治实践、科学文化实践。其中塑造人与人之间关系的是()

Nowadays,amateurphotographyhasbecomeatroublingissue.Citizensofrichcountrieshavegotusedtobeingwatchedbyclosed-

资源共享包括(　　)。