设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

admin2019-02-23 41

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A^*b＝0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，于是A^*b＝A^*AX＝｜A｜X＝0．反之，设A^*b＝0，因为b≠0，所以方程组A^*X＝0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠0，所以r(A^*)＝1，且r(A)＝n－1．因为r(A^*)＝1，所以方程组A^*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而A^*A＝0，所以A的列向量组α₁，α₂，…，α_n为方程组A^*X＝0的一组解向量．由A₁₁≠0，得α₂，…，α_n线性无关，所以α₂，…，α_n是方程组A^*X＝0的基础解系．因为A^*b＝0，所以b可由α₂，…，α_n线性表示，也可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，故r(A)＝r([*])＝n－1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sij4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

考研数学二

的通解为_________

设f(x)可导，则下列正确的是()．

设3阶矩阵A有3个特征向量η1＝(1，1，1)T，η2＝(1，2，4)T，η3＝(1，3，9)T，它们的特征值依次为1，2，3．又设α＝(1，1，3)T，求Anα．

用分部积分法．[*]

已知n阶矩阵A满足(A－aE)(A－bE)＝0，其中a≠b，证明A可对角化．

已知平面上三条直线的方程为l1＝aχ＋2by＋3c＝0，l2＝bχ＋2cy＋3a＝0，l3＝cχ＋2ay＋3b＝0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

实对阵矩阵A与矩阵合同，则二次型xTAx的规范形为__________。

设A是m×n实矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为v0／3?并求到此时刻该质点所经过的路程．

求曲线y＝χ2－2χ、y＝0、χ＝1、χ＝3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

驾驶机动车遇到这样的情况要提前减速或停车让行。（图4.1.3）

逍遥散组成药物中无

下列关于抑制性突触后电位的叙述．正确的是

备选项目之间存在多种关系,下列选项中为非最常见的关系是()。

下列各项中，属于税款征收强制执行的措施是()。

下列船舶中应征收船舶吨税的有：

在Word编辑状态下，设置段落的行距时，下列说法错误的是()。

在美国，实行死刑的州，其犯罪率要比不实行死刑的州低，因此死刑能够减少犯罪。以下哪项如果为真，最可能质疑上述推断?

将“学生”表中班级字段的宽度由原来的8改为12，正确的命令是

Thepublicmustbeabletounderstandthebasicsofsciencetomakeinformeddecisions.Perhapsthemostdramaticexampleofthe