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设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数Ф(x)=∫ab|x-t|φ(t)dt ( )
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数Ф(x)=∫ab|x-t|φ(t)dt ( )
admin
2019-05-15
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问题
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数Ф(x)=∫
a
b
|x-t|φ(t)dt ( )
选项
A、在(a,b)内的图形为凸
B、在(a,b)内的图形为凹
C、在(a,b)内有拐点
D、在(a,b)内有间断点
答案
B
解析
先将Ф(x)利用|x-t|的分段性分解变形,则对任意x∈[a,b],有Ф(x)=∫
a
x
(x-t)φ(t)dt+∫
x
b
(t-x)φ(t)dt=x∫
a
x
φ(t)dt-∫
a
x
tφ(t)dt+∫
x
b
tφ(t)dt-x∫
x
b
φ(t)dt.
因为φ(t)在[a,b]上连续,所以Ф(x)可导,因而答案不可能是@(D)@.要讨论其余三个选项,只需求出Ф’’(x),讨论Ф’’(x)在(a,b)内的符号即可.因Ф’(x)=∫
a
x
φ(t)dt-∫
x
b
φ(t)dt,Ф’’(x)=2φ(x)>0,x∈[a,b],故y=Ф(x)在(a,b)内的图形为凹.应选B.
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考研数学一
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