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  3. 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数Ф(x)=∫ab｜x－t｜φ(t)dt ( )

设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数Ф(x)=∫ab｜x－t｜φ(t)dt ( )

admin2019-05-15  15
问题 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数Ф(x)=∫ab｜x－t｜φ(t)dt    (    )
选项 A、在(a，b)内的图形为凸
B、在(a，b)内的图形为凹
C、在(a，b)内有拐点
D、在(a，b)内有间断点
答案B
解析 先将Ф(x)利用｜x－t｜的分段性分解变形，则对任意x∈[a，b]，有Ф(x)=∫ax(x－t)φ(t)dt+∫xb(t－x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt－∫axtφ(t)dt+∫xbtφ(t)dt－x∫xbφ(t)dt．
    因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Ф(x)可导，因而答案不可能是@(D)@．要讨论其余三个选项，只需求出Ф’’(x)，讨论Ф’’(x)在(a，b)内的符号即可．因Ф’(x)=∫axφ(t)dt－∫xbφ(t)dt，Ф’’(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=Ф(x)在(a，b)内的图形为凹．应选B．
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考研数学一

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