2. 考研
  3. 设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且｜x(x)｜≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f’’(ξ)=0．

设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且｜x(x)｜≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f’’(ξ)=0．

admin2016-07-22  60
问题 设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且｜x(x)｜≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f’’(ξ)=0．
选项
答案f(0)-f(-2)=2f’(ξ1)，-2＜ξ1＜0， f(2)-f(0)=zf’(ξ2)，0＜ξ2＜2． 由｜f(x)｜≤1知｜f’(ξ1)｜=[*] 令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2． 因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2][*](-2，2)上取到，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有：φ’(ξ)=0，即 2f(ξ).f(ξ)+zf’(ξ).f’’(ξ)=0． 因为｜f(x)｜≤1，且φ(x)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有 f(ξ)+f’’(ξ)=0，ξ∈(-2，2)．
解析
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考研数学一

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