设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解,试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).

admin2021-02-25  45

问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解,试证它的任一解可表示为
    x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).

选项

答案Ax=A(k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1)=k11+…+kn-r+1n-r+1=k1b+…+kn-r+1b=(k1+…+kn-r+1)b=b. 所以xk1η1+…+kn-r+1ηn-r+1是方程组Ax=b的解. 设β是Ax=b的任一解,令ζii—ηn-r+1,则ζi是Ax=0的解, 设k1ζ1+k2ζ2+…+kn-rζn-r=0,即k11—ηn-r+1)+…+kn-rn-r一ηn-r+1)=0. 从而有k1η1+…+kn-rηn-r一(k1+…+kn-rn-r+1=0,而η1,η2,…,ηn-r+1线性无关,所以k1=…=kn-r=0,所以ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,从而可得它们是Ax=0的一个基础解系.所以存在λ1,λ2,…,λn-r使β一ηn-r+11=λ1ξ1+…+λn-rξn-r,即 β=λ1ξ1+…+λn-rξn-rn-r+111一ηn-r+1)+…+λn-rn-r一ηn-r+1)+ηn-r+11η1+…+λn-rηn-r+(1—λ1—λ2—…—λn-rn-r+11η1+…+λn-rηn-rn-r+1ηn-r+1 其中λn-r+1=1一λ1一λ2一…一λn-r满足λ12+…+λn-r=1.

解析
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