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设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解,试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解,试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).
admin
2021-02-25
143
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n—r+1个线性无关的解,试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
(其中k
1
+…+k
n-r+1
=1).
选项
答案
Ax=A(k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
)=k
1
Aη
1
+…+k
n-r+1
Aη
n-r+1
=k
1
b+…+k
n-r+1
b=(k
1
+…+k
n-r+1
)b=b. 所以xk
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
是方程组Ax=b的解. 设β是Ax=b的任一解,令ζ
i
=η
i
—η
n-r+1
,则ζ
i
是Ax=0的解, 设k
1
ζ
1
+k
2
ζ
2
+…+k
n-r
ζ
n-r
=0,即k
1
(η
1
—η
n-r+1
)+…+k
n-r
(η
n-r
一η
n-r+1
)=0. 从而有k
1
η
1
+…+k
n-r
η
n-r
一(k
1
+…+k
n-r
)η
n-r+1
=0,而η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关,所以k
1
=…=k
n-r
=0,所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,从而可得它们是Ax=0的一个基础解系.所以存在λ
1
,λ
2
,…,λ
n-r
使β一η
n-r+1
1=λ
1
ξ
1
+…+λ
n-r
ξ
n-r
,即 β=λ
1
ξ
1
+…+λ
n-r
ξ
n-r
+η
n-r+1
=λ
1
(η
1
一η
n-r+1
)+…+λ
n-r
(η
n-r
一η
n-r+1
)+η
n-r+1
=λ
1
η
1
+…+λ
n-r
η
n-r
+(1—λ
1
—λ
2
—…—λ
n-r
)η
n-r+1
=λ
1
η
1
+…+λ
n-r
η
n-r
+λ
n-r+1
η
n-r+1
其中λ
n-r+1
=1一λ
1
一λ
2
一…一λ
n-r
满足λ
1
+λ
2
+…+λ
n-r
=1.
解析
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考研数学二
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