2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解，试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1)．

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解，试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1)．

admin2021-02-25  88
问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解，试证它的任一解可表示为
    x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1)．
选项
答案Ax=A(k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1)=k1Aη1+…+kn-r+1Aηn-r+1=k1b+…+kn-r+1b=(k1+…+kn-r+1)b=b． 所以xk1η1+…+kn-r+1ηn-r+1是方程组Ax=b的解． 设β是Ax=b的任一解，令ζi=ηi—ηn-r+1，则ζi是Ax=0的解， 设k1ζ1+k2ζ2+…+kn-rζn-r=0，即k1(η1—ηn-r+1)+…+kn-r(ηn-r一ηn-r+1)=0． 从而有k1η1+…+kn-rηn-r一(k1+…+kn-r)ηn-r+1=0，而η1，η2，…，ηn-r+1线性无关，所以k1=…=kn-r=0，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，从而可得它们是Ax=0的一个基础解系．所以存在λ1，λ2，…，λn-r使β一ηn-r+11=λ1ξ1+…+λn-rξn-r，即 β=λ1ξ1+…+λn-rξn-r+ηn-r+1 =λ1(η1一ηn-r+1)+…+λn-r(ηn-r一ηn-r+1)+ηn-r+1 =λ1η1+…+λn-rηn-r+(1—λ1—λ2—…—λn-r)ηn-r+1 =λ1η1+…+λn-rηn-r+λn-r+1ηn-r+1 其中λn-r+1=1一λ1一λ2一…一λn-r满足λ1+λ2+…+λn-r=1．
解析
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考研数学二

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