求下列平面上曲线积分 I=∫L(exsiny－my－y)dx+excosy－mx)dy，其中L：t从0到π，a＞0．

admin2018-06-15 55

问题求下列平面上曲线积分
I=∫_L(e^xsiny－my－y)dx+e^xcosy－mx)dy，其中L：

t从0到π，a＞0．

选项

答案将积分I分解成I=I₁+I₂，其中 I₁=∫_Lsinyde^x+e^xd(siny)－m(ydx+xdy)，I₂=∫_L－ydx． I₁易通过求原函数而求得，I₂容易直接计算： I₁=∫_Ld(e^xsiny－mxy)=(e^xsiny－mxy)|_(0，0)^(πa，2a)=e^πasin2a－2mπa²． I₂=－∫_Lydx=－∫₀a^π(1－cost)a(1－cost)dt =－4a²∫₀^πsin⁴t／2dt=－8a²∫₀^π／2sin⁴sds [*] 因此I=I₁+I₂=e^πasin2a－2ma²π－[*]a²π．

解析

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