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  3. 在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a>0为常数．

在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a>0为常数．

admin2017-05-31  44
问题 在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a>0为常数．
选项
答案设所求曲线为y=f(x)．由题设，作出所围梯形，如图1—11—2中的阴影部分所示． [*] 过曲线y=f(x)上的点(x，y)的切线方程为Y－y=f’(x)(X－x)． 令Y=0，得切线在x轴上的截距为[*]即为梯形的下底的长度． 又梯形的上底的长为x，高为y．因此，梯形面积为 [*] 这是关于y的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为[*]其中c为任意常数． 又因为曲线过点(a，a)，即满足初始条件y(a)=a代入通解中，得[*]于是，所求曲线方程为[*]
解析 这是一个微分方程的几何应用问题．解决这类问题要注意两点：
    (1)由实际问题及题设条件，建立微分方程(即列列出含有自变量x、未知函数y及未知函数的导数y’的问题)，并指出相应的初始条件．
    (2)判断微分方程的类型，给出相应的解(包括微分方程的通解及满足初始条件的特解)．
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