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在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
admin
2017-05-31
43
问题
在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a
2
,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
选项
答案
设所求曲线为y=f(x).由题设,作出所围梯形,如图1—11—2中的阴影部分所示. [*] 过曲线y=f(x)上的点(x,y)的切线方程为Y-y=f’(x)(X-x). 令Y=0,得切线在x轴上的截距为[*]即为梯形的下底的长度. 又梯形的上底的长为x,高为y.因此,梯形面积为 [*] 这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,可求得通解为[*]其中c为任意常数. 又因为曲线过点(a,a),即满足初始条件y(a)=a代入通解中,得[*]于是,所求曲线方程为[*]
解析
这是一个微分方程的几何应用问题.解决这类问题要注意两点:
(1)由实际问题及题设条件,建立微分方程(即列列出含有自变量x、未知函数y及未知函数的导数y’的问题),并指出相应的初始条件.
(2)判断微分方程的类型,给出相应的解(包括微分方程的通解及满足初始条件的特解).
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考研数学一
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