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  3. [2003年] 若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP=A．

[2003年] 若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP=A．

admin2019-05-10  81
问题 [2003年]  若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP=A．
选项
答案先求出A的特征值，再由A可对角化的必要条件秩(λiE一A)=n一ki求出6E－A的秩，从而求出a．再求出A的所有线性无关的特征向量，即可求出相似变换矩阵P． 由∣λE－A ∣=(λ一6)2(λ+2)=0得到A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2． 由于A相似于对角矩阵，由命题2．5．3．2(3)知，秩(6E—A)=n一k1=3—2=1． 因而6E—A中二阶子式[*]=2a=0，即a=0． 因 6E—A=[*] 故属于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量为α1=[1，2，0]T，α2=[0，0，1]T． 因 一2E—A=[*] 故属于λ3=一2的一个线性无关的特征向量为α3=[1，－2，0]T． 令P=[α1，α2，α3]，则P可逆，且有 P-1AP=A=diag(6，6，一2)．
解析
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考研数学二

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