2. 考研
  3. 设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立 f(tx，ty)=t2f(x，y)． (1)证明 (2)设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明： ∮Lf(x，y)ds=div[grad f(x，y)]

设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立 f(tx，ty)=t2f(x，y)． (1)证明 (2)设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明： ∮Lf(x，y)ds=div[grad f(x，y)]

admin2018-09-25  59
问题 设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立
    f(tx，ty)=t2f(x，y)．
(1)证明

(2)设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明：
∮Lf(x，y)ds=div[grad f(x，y)]dσ．
选项
答案(1)方程f(tx，ty)=t2f(x，y)两边对t求导得 xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x．y)． 再对t求导得， x[xf21]](tx，ty)+yf12’’(tx，ty)]+y[xf21’’(tx，ty)+yf22’’(tx，ty)]=2f(x，y)． 于是 tx[txf11’’(tx，ty)+ty12’’(tx，ty)]+ty[txf21’’(tx，ty)+tyf22’’(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)， 由此得x2fxx’’(x，y)+2xyfxy’’(x，y)+y2fyy’’(x，y)=2f(x，y)，即结论成立． (2)由xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x，y)得 txf1’(tx，ty)+tyf2’(tx，ty)=2t2f(x，y)， 即xfx’(x，y)+yfy’(x，y)=2f(x，y)，又 [*] (其中n0为点(x，y)处的单位切向量)．
解析
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考研数学一

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