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设f(x,y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数,即对任何x,y,t下式成立 f(tx,ty)=t2f(x,y). (1)证明 (2)设D是由L:x2+y2=4正向一周所围成的闭区域,证明: ∮Lf(x,y)ds=div[grad f(x,y)]
设f(x,y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数,即对任何x,y,t下式成立 f(tx,ty)=t2f(x,y). (1)证明 (2)设D是由L:x2+y2=4正向一周所围成的闭区域,证明: ∮Lf(x,y)ds=div[grad f(x,y)]
admin
2018-09-25
54
问题
设f(x,y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数,即对任何x,y,t下式成立
f(tx,ty)=t
2
f(x,y).
(1)证明
(2)设D是由L:x
2
+y
2
=4正向一周所围成的闭区域,证明:
∮
L
f(x,y)ds=
div[grad f(x,y)]dσ.
选项
答案
(1)方程f(tx,ty)=t
2
f(x,y)两边对t求导得 xf
1
’(tx,ty)+yf
2
’(tx,ty)=2tf(x.y). 再对t求导得, x[xf
21
]](tx,ty)+yf
12
’’(tx,ty)]+y[xf
21
’’(tx,ty)+yf
22
’’(tx,ty)]=2f(x,y). 于是 tx[txf
11
’’(tx,ty)+ty
12
’’(tx,ty)]+ty[txf
21
’’(tx,ty)+tyf
22
’’(tx,ty)]=2t
2
f(x,y)=2f(tx,ty), 由此得x
2
f
xx
’’(x,y)+2xyf
xy
’’(x,y)+y
2
f
yy
’’(x,y)=2f(x,y),即结论成立. (2)由xf
1
’(tx,ty)+yf
2
’(tx,ty)=2tf(x,y)得 txf
1
’(tx,ty)+tyf
2
’(tx,ty)=2t
2
f(x,y), 即xf
x
’(x,y)+yf
y
’(x,y)=2f(x,y),又 [*] (其中n
0
为点(x,y)处的单位切向量).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tqg4777K
0
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