设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

admin2019-08-06 67

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，
β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β₃=t₁α_s+t₂α₁，
其中t₁，t₂为实常数。试问t₁，t₂满足什么条件时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系。

选项

答案因为β_i(i=1，2，…，s)是α₁，α₂，…，α_s的线性组合，且α₁，α₂，…，α_i是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β_i(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α₁，α₂，…，α_s是Ax=0的基础解系知s=n—r(A)。以下分析β₁，β₂，…，β_s线性无关的条件：设k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，即 (t₁k₁+t₂k_s)α₁+(t₂k₁+t₁k₂)α₂+(t₂k₂+t₁k₃)α₃+…+(t₂k_s-1+t₁k_s)α_s=0，由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*]=t₁^s+(一1)^s+1t₂^s，当t_t^s+(一1)^s+1t₂^s≠0时，方程组只有零解k₁=k₂=…=k_s=0。因此当s为偶数且t₁≠±t₂，或当s为奇数且t₁≠一t₂时，β₁，β₂，…，β_s线性无关，为Ax=0的一个基础解系。

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

考研数学三

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．

设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，－3α1，－α2)，则P－1(A－1+2E)P=______．

设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1.证明：｜f(x)｜≤1．

设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

设随机变量X，Y相互独立，且又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率．

设f(x)二阶连续可导，且则()．

前列腺癌最常见的组织学类型是

肛瘘

患者，女，14岁。左面部肿大，畸形，随年龄而增长。检查：左鼻及唇颊增大、下坠，软，面部及躯干皮肤有多处棕色斑。最可能的临床诊断是

A．风湿性心脏病B．心律失常C．二尖瓣狭窄伴关闭不全D．心功能Ⅲ级E．贫血于病因诊断的是()

某教学楼由10层和2层两部分组成，均拟设埋深相同的1层地下室。地基土为均匀的细粒土，场地在勘察深度内未见地下水。以下基础方案中的()不能有效减少高低层的不均匀沉降。

法律意义上的物是指_________的生产资料和消费资料。()

以下属于自物权的是(　　)。

下面不属于需求分析阶段任务的是

Manyoftheemployeesthinktheircareerpathbeginsduringtheiremploymentorwhentheygetajob.Butbasically,ifwelooka

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1αs+t2α1， 其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

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设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，－3α1，－α2)，则P－1(A－1+2E)P=______．

设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1.证明：｜f(x)｜≤1．

设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

设随机变量X，Y相互独立，且又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率．

设f(x)二阶连续可导，且则()．

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A．风湿性心脏病B．心律失常C．二尖瓣狭窄伴关闭不全D．心功能Ⅲ级E．贫血于病因诊断的是()

某教学楼由10层和2层两部分组成，均拟设埋深相同的1层地下室。地基土为均匀的细粒土，场地在勘察深度内未见地下水。以下基础方案中的()不能有效减少高低层的不均匀沉降。

法律意义上的物是指_________的生产资料和消费资料。()

以下属于自物权的是( )。

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以下属于自物权的是(　　)。