设n阶矩阵A满足(aE一A)(bE一A)一0且a≠b．证明：A可对角化．

admin2016-10-24 45

问题设n阶矩阵A满足(aE一A)(bE一A)一0且a≠b．证明：A可对角化．

选项

答案由(aE一A)(bE一A)=0，得|aE一A|．|bE一A|=0，则|aE一A|=0或者|bE一A|=0．又由(aE一A)(bE一A)=0，得r(aE一A)+r(bE一A)≤n．同时r(aE一A)+r(bE一A)≥r[(aE一A)一(bE一A)]=r[(a一b)E]=n．所以r(aE一A)+r(bE一A)=n． (1)若|aE一A|≠0，则r(aE一A)=n，所以r(bE一A)=0，故A=bE． (2)若|bE一A|≠0，则r(bE一A)=n，所以r(aE一A)=0，故A=aE． (3)若|aE一A|=0且|bE一A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值，方程组(aE一A)X=0的基础解系含有n一r(aE一A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n一r(aE一A)个；方程组(bE一A)X=0的基础解系含有n一r(bE一A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE一A)个．因为n一r(aE一A)+n一r(bE一A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

解析

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考研数学三

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