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设f(x)连续,且满足 f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt,求f(x).
设f(x)连续,且满足 f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt,求f(x).
admin
2020-06-11
116
问题
设f(x)连续,且满足
f(x)=(x一π)
2
一∫
0
x—π
tf(x一t)dt,求f(x).
选项
答案
这是含变限积分的方程,且被积函数又含参变量,所以先作变量替换,转化为 被积函数不含参变量的情形,令s=x一t得 f(x)=(x一π)
2
一∫
π
x
f(x一s)f(s)ds, 即 f(x)=(x一π)
2
一x∫
π
x
f(x)ds+∫
π
x
sf(s)ds. ① 现把它转化成微分方程问题.①式两边求导得 f’(x)=2(x一π)一∫
π
x
f(s)ds. ② 又①式中令x=π得f(π)=0. 再对②求导得f"(x)+f(x)=2. 在②中令x=π得f’(π)=0. 于是问题转化为求解初值问题[*]其中y=f(x). 这是二阶线性常系数方程,显然有常数特解y
*
=2,于是通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx+2. 由 [*] 解得C
1
=2,C
2
=0. 因此 y=f(x)=2cosx+2.
解析
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0
考研数学二
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