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设y1，y2，y3是二阶线性非齐次微分方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则该微分方程的通解是( )
设y1，y2，y3是二阶线性非齐次微分方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则该微分方程的通解是( )
admin
2020-03-02
34
问题
设y
1
，y
2
，y
3
是二阶线性非齐次微分方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C
1
，C
2
是任意常数，则该微分方程的通解是( )
选项
A、y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
．
B、y=C
1
y
1
+C
2
y
2
-(C
1
+C
2
)y
3
．
C、y=C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
．
D、y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
．
答案
D
解析
本题主要考查二阶线性非齐次微分方程解的性质与结构．二阶线性非齐次微分方程的通解等于二阶线性齐次微分方程的通解加上二阶线性非齐次微分方程的一个特解．
A 因为C
1
y
1
+C
2
y
2
不是二阶线性齐次微分方程的通解，排除A．
B y=C
1
y
1
+C
2
y
2
=(C
1
+C
2
)y
3
=
C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)，而y
1
-y
3
，y
2
-y
3
是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解(如果其线性相关，则y
1
-y
2
=k(y
2
-y
3
)，y
1
=ky
2
+(1-k)y
3
，从而y
1
，y
2
，y
3
线性相关，与y
1
，y
2
，y
3
线性无关矛盾)，因此B是二阶线性齐次微分方程的通解，而不是二阶线性非齐次微分方程的通解，排除B．
C y=C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
=
C
1
(y
1
+y
2
)+C
2
(y
2
+y
3
)-y
3
，而y
1
+y
3
，y
2
+y
3
一般来说不是二阶线性齐次微分方程的解，排除C．
故只有选D．事实上D可以写成
y=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
，
其中C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)是二阶线性齐次微分方程的通解，y
3
是二阶线性非齐次微分方程的一个特解．所以y=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
是二阶线性非齐次微分方程的通解．
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