2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．

设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．

admin2017-10-23  68
问题 设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．
选项
答案由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，故存在ξ1∈(0，1)使得F’(ξ1)=0．又 F’(x)=x2f’(x)+2xf(x)， 于是由F’(0)=0，F’(ξ1)=0及F’(x)在[0，1]可导知，存在ξ2∈(0，ξ1)使得F"(ξ2)=0．又因 F"(x)=x2f"(x)+4xf’(x)+2f(x)， 于是由F"(0)=F"(ξ2)=0及F"(x)在[0，1]可导知，存在c∈(0，ξ2)[*](0，1)使得F"(c)=0．
解析
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考研数学三

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