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设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=2B，CAT=2C其中 证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．
设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=2B，CAT=2C其中 证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．
admin
2021-07-27
55
问题
设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=2B，CA
T
=2C其中
证明：对任何3维向量ξ，A
100
ξ与ξ必线性相关．
选项
答案
因Aβ
i
=-2β
i
(i=1，2)，故A
100
β
i
=(-2)
100
β
i
=2
100
β
i
(i=1，2)．因Aα
1
=2α
1
，故A
100
α
1
=2
100
α
1
．对任意的3维向量ξ，因β
1
，β
2
，α
1
线性无关，ξ可由β
1
，β
2
，α
1
线性表示，且表示法唯一．设ξ=μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
，则A
100
ξ=A
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
)=μ
1
A
100
β
1
+μ
2
A
100
β
2
+μ
3
A
100
α
1
=μ
1
2
100
β
1
+μ
2
2
100
β
2
+μ
3
2
100
α
1
=2
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
)=2
100
ξ．得证A
100
ξ和ξ成比例，A
100
ξ和ξ线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uQy4777K
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考研数学二
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