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设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明: AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明: AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
admin
2016-03-05
52
问题
设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明:
AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
选项
答案
由题意可知,|A|=n!≠0,故A可逆.则有|λE—AB|=|A(λA
一1
一B|=|A||λE—BA||A
一1
||λE一BA|.即AB和BA有相同的特征多项式,故AB和BA有相同的特征值.若取可逆矩阵P=A,则有P
一1
ABP=A
一1
ABA=BA,故AB~BA.
解析
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考研数学二
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