2. 考研
  3. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).

admin2022-09-05  55
问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).
选项
答案令h(x)= f(x)－g(x),则h(a)=h(b)=0. 设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M分别在a∈(a,b) ,β∈(a ,b)取得. 当a=β时,取η=a,则h(η)=0. 当a≠β时， h(a)= f(a)－g(a)=M－g(a)>0， h(β)= f(β)－g(β)= f(β)－ M<0. 由介值定理,存在介于a与β之间的点η,使得h(η)=0. 综上,存在η∈(a.b),使得h(η)=0.因此由罗尔定理可知,存在ξ1∈(a,η)，ξ2∈(η,b),使得 h’(ξ1)=h’(ξ2)=0, 再由罗尔定理可知,存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a,b),使得h"(ξ)=0,即 f"(ξ)=g"(ξ).
解析
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考研数学三

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