2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解； ③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A

设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解； ③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A

admin2018-11-22  56
问题 设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：
    ①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)；
    ②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；
    ③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A)＝r(B)；
    ④若r(A)＝r(B)，则Aχ＝0与Bχ＝0同解．
    以上命题中正确的有(    )
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 由于线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B．
    下面证明①，③正确：
    对于①，由Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解可知，方程组Bχ＝0含于Aχ＝0之中，从而Aχ＝0的有效方程的个数(即为r(A))必不少于Bχ＝0的有效方程的个数(为r(B))，故
    r(A)≥r(B)．
    对于③，由于A，B为同型矩阵，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即
    n－r(A)＝n－r(B)，
    从而r(A)＝r(B)．所以应选B．
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考研数学一

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