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选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:(Ⅰ)D={x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式;(Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.
选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:(Ⅰ)D={x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式;(Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.
admin
2020-03-05
49
问题
选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
i—x
2
(x
4
+y
2
)
λ
j在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:(Ⅰ)D={x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式;(Ⅱ)D={(x,y)|x
2
+y
2
>0}.
选项
答案
记A=P(x,y)i+Q(x,y)j,先由(P,Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件[*]定出参数λ. [*]=2x(x
4
+y
2
)
λ
+λ4xy
2
(x
4
+y
2
)
λ—1
,[*]=—2x(x
4
+y
2
)
λ
一λ4x
5
(x
2
+y
2
)
λ—1
[*]4x(x
4
+y
2
)
λ
+4λx(x
4
+y
2
)
λ
=0([*]x>0)→λ=一1. (Ⅰ)由于D={(x,y)|y>0}是单连通,λ=一1是存在u(x,y)使du=Pdx+Qdy的充要条件,因此仅当λ=一1时存在u(x,y)使(P,Q)为u的梯度. 现求u(x,y),使得du(x,y)=[*]. 凑微分法. [*] (Ⅱ)D={(x,y)|x
2
+y
2
>0|是非单连通区域,[*]((x,y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数.我们再取环绕(0,0)的闭曲线C:x
4
+y
2
=1,逆时针方向,求出 ∫
C
Pdx+Qdy=∫
C
[*](一2x一2x)dxdy=0, 其中D
0
是C围成的区域,它关于y轴对称.于是∫
L
Pdx+Qdy在D与路径无关,即Pdx+Qdy在D存在原函数.因此,仅当λ=一1时A(x,y)=(P,Q)在D为某二元函数u(x,y)的梯度.
解析
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考研数学一
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