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  3. 求一正交变换x＝Py将二次型f(x1，x2，x3)＝x12－x22＋2x32＋4x2x3化为标准形．

求一正交变换x＝Py将二次型f(x1，x2，x3)＝x12－x22＋2x32＋4x2x3化为标准形．

admin2020-06-05  37
问题 求一正交变换x＝Py将二次型f(x1，x2，x3)＝x12－x22＋2x32＋4x2x3化为标准形．
选项
答案二次型f的矩阵A＝[*]的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－1)(λ－3)(λ＋2) 所以A的特征值为1，3，﹣2． 当λ＝1时，解方程(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p1＝(1，0，0)T． 当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p2＝(0，1，2)T． 当λ＝﹣2时，解方程(A＋2E)x＝0．由 A＋2E＝[*] 得基础解系p3＝(0，﹣2，1)T． 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交．故只需要正交化，令 [*] 于是正交变换为[*] 且有 f＝y12＋3y22－2y32
解析
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考研数学一

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