求一正交变换x＝Py将二次型f(x1，x2，x3)＝x12－x22＋2x32＋4x2x3化为标准形．

admin2020-06-05 27

问题求一正交变换x＝Py将二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x₁²－x₂²＋2x₃²＋4x₂x₃化为标准形．

选项

答案二次型f的矩阵A＝[*]的特征多项式为｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－1)(λ－3)(λ＋2) 所以A的特征值为1，3，﹣2．当λ＝1时，解方程(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p₁＝(1，0，0)^T．当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p₂＝(0，1，2)^T．当λ＝﹣2时，解方程(A＋2E)x＝0．由 A＋2E＝[*] 得基础解系p₃＝(0，﹣2，1)^T．实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交．故只需要正交化，令 [*] 于是正交变换为[*] 且有 f＝y₁²＋3y₂²－2y₃²

解析

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考研数学一

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