设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 求: (Ⅰ)系数A; (Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数; (Ⅲ)边缘概率密度; (Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x +3y<6内的概率。

admin2017-01-21  40

问题 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求:
(Ⅰ)系数A;
(Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数;
(Ⅲ)边缘概率密度;
(Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x +3y<6内的概率。

选项

答案(Ⅰ)根据分布函数的性质 ∫—∞+∞—∞+∞f(x,y)dxdy=∫0+∞0+∞Ae一(2x+3y) dxdy=A.[*],解得A=6。 (Ⅱ)将A=6代入得(X,Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x>0,y>0时, F(x,y)=∫0+∞0+∞Ae一(2x+3y) dxdy=6∫0xe—2xdx∫0ye—3ydy=(1—e—2x)(1—e—3y), 而当x和y取其它值时,F(x,y)=0。 综上所述,可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x>0时,X的边缘密度为 fX(x) =6e—(2x+3y) dy=2e—2x, 当x≤0时,fX(x)=0。因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] (Ⅳ)根据公式 [*] 已知R:x>0,y>0,2x+3y<6,将其转化为二次积分,可表示为 [*]e—3ydy=2∫03(e—2x-—6)dx=1—7e—6≈0.983。

解析
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