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设曲线(0<a<4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V1(a),绕y轴旋转所得立体体积为V2(a),问a为何值时,V1(a)+V2(a)最大,并求最大值.
设曲线(0<a<4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V1(a),绕y轴旋转所得立体体积为V2(a),问a为何值时,V1(a)+V2(a)最大,并求最大值.
admin
2019-09-04
65
问题
设曲线
(0<a<4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V
1
(a),绕y轴旋转所得立体体积为V
2
(a),问a为何值时,V
1
(a)+V
2
(a)最大,并求最大值.
选项
答案
曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a,0),(0,b),其中b=4-a.曲线可化为 y=[*],对任意的[x,x+dx][*][0,a], dV
2
=2πx.ydx=2πx[*] 于是V
2
=2π∫
0
a
x.[*]a
2
b,根据对称性,有V
1
=[*]ab
2
. 于是V(a)=V
1
(a)+V
2
(a)=[*]a(4-a). 令V’(a)=[*](4-2a)=0[*]a=2,又V’’(2)<0,所以a=2时,两体积之和最大,且最大值为V(2)=[*]
解析
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考研数学三
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