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设f(x)二阶连续可导,且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关,求f(x).
设f(x)二阶连续可导,且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关,求f(x).
admin
2017-08-31
23
问题
设f(x)二阶连续可导,且曲线积分∫[3f
’
(x)一2f(x)+xe
2x
]ydx+f
’
(x)dy与路径无关,求f(x).
选项
答案
因为曲线积分与路径无关,所以有f
’’
(x)=3f
’
(x)一2f(x)+xe
2x
,即f
’’
(x)一3f
’
(x)+2f(x)=xe
2x
, 由特征方程λ
2
一3λ+2=0得λ
1
=1,λ
2
=2, 则方程f
’’
(x)一3f
’
(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
2x
, 令特解f
0
(x)=x(ax+b)e
2x
,代入原微分方程得a=[*],b=一1, 故所求f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+([*]一x)e
2x
.
解析
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0
考研数学一
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