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设A= (Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1,2,3)的特征值; (Ⅱ)求Ax=ξ3的通解; (Ⅲ)求A.
设A= (Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1,2,3)的特征值; (Ⅱ)求Ax=ξ3的通解; (Ⅲ)求A.
admin
2016-05-03
48
问题
设A=
(Ⅰ)求A的对应于ξ
i
(i=1,2,3)的特征值;
(Ⅱ)求Ax=ξ
3
的通解;
(Ⅲ)求A.
选项
答案
(Ⅰ)因ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是A的特征向量,假设对应的特征值分别是λ
1
,λ
2
,λ
3
,则有 [*] (Ⅱ)A是3×3的非零矩阵(a
11
=1≠0),r(A)≥1. Aξ
1
=0,Aξ
2
=0,且ξ
1
,ξ
2
线性无关,所以r(A)≤1.则r(A)=1,ξ
1
,ξ
2
是Ax=0的基础解系.又因Aξ
3
=(一1)ξ
3
,故A(一ξ
3
)=ξ
3
,Ax=ξ
3
有特解一ξ
3
,从而Axξ
3
的通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
一ξ
3
,其中k
1
,k
2
是任意常数. (Ⅲ)直接由题设条件解出未知的a
ij
(i=2,3,j=1,2,3),从而求出A. 因r(A)=1,故(a
21
,a
22
,a
23
)=k(1,一2,3),(a
31
,a
32
,a
33
)=l(1,一2,3),即 [*] 两端第2个分量,第3个分量分别相等,得 k=一2,l=一2. 故A=[*]。
解析
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考研数学三
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