2. 考研
  3. 设A= (Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1，2，3)的特征值； (Ⅱ)求Ax=ξ3的通解； (Ⅲ)求A．

设A= (Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1，2，3)的特征值； (Ⅱ)求Ax=ξ3的通解； (Ⅲ)求A．

admin2016-05-03  49
问题 设A=
(Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1，2，3)的特征值；
(Ⅱ)求Ax=ξ3的通解；
(Ⅲ)求A．
选项
答案(Ⅰ)因ξ1，ξ2，ξ3是A的特征向量，假设对应的特征值分别是λ1，λ2，λ3，则有 [*] (Ⅱ)A是3×3的非零矩阵(a11=1≠0)，r(A)≥1． Aξ1=0，Aξ2=0，且ξ1，ξ2线性无关，所以r(A)≤1．则r(A)=1，ξ1，ξ2是Ax=0的基础解系．又因Aξ3=(一1)ξ3，故A(一ξ3)=ξ3，Ax=ξ3有特解一ξ3，从而Axξ3的通解为k1ξ1+k2ξ2一ξ3，其中k1，k2是任意常数． (Ⅲ)直接由题设条件解出未知的aij(i=2，3，j=1，2，3)，从而求出A． 因r(A)=1，故(a21，a22，a23)=k(1，一2，3)，(a31，a32，a33)=l(1，一2，3)，即 [*] 两端第2个分量，第3个分量分别相等，得 k=一2，l=一2． 故A=[*]。
解析
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考研数学三

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