(I)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定阵; (Ⅱ)设求可逆阵D,使A=DTD.

admin2014-04-23  61

问题 (I)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定阵;
(Ⅱ)设求可逆阵D,使A=DTD.

选项

答案(I)将f(x1,x2,x3)用配方法化为标准形,得f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x2一6x2x3一(x1-x2+x3)2+x22+5x32一4x2x3=(x1一x2+x3)2+(x2—2x3)2+x32. 令[*]即[*] 得f的标准形为f(x1,x2,x3)=y12+y22+y32所作的可逆线性变换为x=Cy, 其中[*]A的对应二次型的规范形为y12+y22+y32. 正惯性指数p=3=r=n,故知A是正定阵.(也可用定义证明,或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵) (Ⅱ)由(I)知[*]是f(x1,x2,x3)的对应矩阵,即f(x1,x2,x3)=xTAx.由(I)知,令x=Cy,其中[*]得f=xTAx=yTCTACy=yTEy,故CTAC=E,A=(C-1)TC-1=DTD,其中D=C-1. 由[*] 故[*]

解析
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