(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

admin2014-04-23 78

问题 (I)设f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+6x₃²一2x₁x₂+2x₁x₃—6x₂x₃，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；
(Ⅱ)设

求可逆阵D，使A=D^TD．

选项

答案(I)将f(x₁，x₂，x₃)用配方法化为标准形，得f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+6x₃²一2x₁x₂+2x₁x₂一6x₂x₃一(x₁－x₂+x₃)²+x₂²+5x₃²一4x₂x₃=(x₁一x₂+x₃)²+(x₂—2x₃)²+x₃²．令[*]即[*] 得f的标准形为f(x₁，x₂，x₃)=y₁²+y₂²+y₃²所作的可逆线性变换为x=Cy，其中[*]A的对应二次型的规范形为y₁²+y₂²+y₃²．正惯性指数p=3=r=n，故知A是正定阵．(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵) (Ⅱ)由(I)知[*]是f(x₁，x₂，x₃)的对应矩阵，即f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx．由(I)知，令x=Cy，其中[*]得f=x^TAx=y^TC^TACy=y^TEy，故C^TAC=E，A=(C^-1)^TC^-1=D^TD，其中D=C^-1．由[*] 故[*]

解析

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考研数学一

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(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵； (Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

考研数学一

求直线绕z轴旋转而成的旋转曲面方程，并问a、b不同时为零时，该曲面为何种曲面?

设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，b3，b4线性相关．

设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量，且Aα1＝α1＋2α2＋3α3，Aα2＝一α2+α3，Aα3＝2α2，则A11+A22+A33＝___________________．

设曲线段L：y＝4－x2(0≤x≤2)，P(x，y)为曲线段L上一点，过点P作切线，求该切线与两坐标轴形成的三角形面积的最小值．

若函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0,f"(x)＜0,△x为自变量x在x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在x0处的增量与微分，则当△x＞0时，必有（）。

设,其中t为参数，求.

设二元函数则下述命题①f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．②若z—f[sint，ln(1+t)]，则｜t=0=0正确与否的结论是()．

Y服从参数X的指数分布，而X是服从[1，2]上的均匀分布的随机变量．求Y的边缘密度函数；

X与Y的联合概率分布

根据风险收益对等的观念，在一般情况下，各筹资方式资本成本由小到大依次为()

设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=一α1+α3，β=2α2—2α3，β=2α1—5α2+3α3．试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性．

有关小儿造血特点中下列哪项不正确

患者，女，56岁，脑出血，意识模糊，留置胃管鼻饲饮食，在护理过程中，以下操作不能防止误吸的是

从基金的资金来源和使用划分，证券投资基金可分为(　　)。

从迁移的观点来看，“温故而知新”属于()

孔子云：“德之不厚，行之不远。”在当前社会转型期，存在很多为了一己私利践踏职业道德、社会公德等各种道德失范现象。因此，提倡“厚德”具有重要的意义和价值。这说明()。

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设,其中t为参数，求.

设二元函数则下述命题①f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．②若z—f[sint，ln(1+t)]，则｜t=0=0正确与否的结论是()．

Y服从参数X的指数分布，而X是服从[1，2]上的均匀分布的随机变量．求Y的边缘密度函数；

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设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=一α1+α3，β=2α2—2α3，β=2α1—5α2+3α3．试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性．

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患者，女，56岁，脑出血，意识模糊，留置胃管鼻饲饮食，在护理过程中，以下操作不能防止误吸的是

从基金的资金来源和使用划分，证券投资基金可分为( )。

从迁移的观点来看，“温故而知新”属于()

孔子云：“德之不厚，行之不远。”在当前社会转型期，存在很多为了一己私利践踏职业道德、社会公德等各种道德失范现象。因此，提倡“厚德”具有重要的意义和价值。这说明()。

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