2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2016-10-26  26
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；  
(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)由Aα=λα有Anα=λnα．那么，对于Aα1=λ1α1=α1，有 Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=([*]+1)α1=－2α1． 因此，向量α1是矩阵B属于特征值λ=－2的特征向量． 类似地，对λ2=2，λ3=－2有：若Aα=λ2α，则Bα=([*]+1)α=α； 若Aβ=λ3β，则Bβ=([*]+1)β=β， 那么α，β是矩阵B属于特征值λ=1的特征向量．因α，β是矩阵A不同特征值的特征向量，因此它们线性无关．从而矩阵B的特征值是：一2，1，1，且矩阵B属于特征值λ=－2的特征向量是k1α1(k1≠0)． 又由A是实对称矩阵知，B是实对称矩阵．那么B的属于特征值λ=1与λ=－2的特征向量应当相互正交．设矩阵B属于λ=1的特征向量α=(x1，x2，x3)T，则 x1－x2+x3=0． 解此方程组得基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(一1，0，1)T．故矩阵B属于λ=1的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全为0)． (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，有P－1BP=[*]那么 [*]
解析
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考研数学一

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