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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量. (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧,使得
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量. (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧,使得
admin
2021-11-09
52
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
都是齐次线性方程组AX=0的解.
(1)求A的特征值和特征向量.
(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧,使得
选项
答案
(1)条件说明A(1,1,1)
T
=(3,3,3)
T
,即α
0
=(1,1,1)
T
是A的特征向量,特征值为3.又α
1
,α
2
都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α
1
,α
2
线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0. 属于3的特征向量:cα
0
,c≠0. 属于0的特征向量:c
1
α
1
+c
2
α
2
;c
1
,c
2
不都为0. (2)将α
0
单位化,得η
0
=[*] 对α
1
,α
2
作施密特正交化,得 [*] 作Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q是正交矩阵,并且 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*] (3)建立矩阵方程A(α
0
,α
1
,α
2
)=(3α
0
,0,0),用初等变换法求解: 得A=[*] 由Q
-1
AQ=[*] 得A=Q[*]Q
-1
. 于是A-(3/2)E=Q[*]Q
-1
. [A-(3/2)E]
6
=(3/2)
6
E.
解析
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0
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