2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T都是齐次线性方程组AX＝0的解． (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧，使得

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T都是齐次线性方程组AX＝0的解． (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧，使得

admin2021-11-09  49
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T都是齐次线性方程组AX＝0的解．
    (1)求A的特征值和特征向量．
    (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵∧，使得
选项
答案(1)条件说明A(1，1，1)T＝(3，3，3)T，即α0＝(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX＝0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0． 属于3的特征向量：cα0，c≠0． 属于0的特征向量：c1α1＋c2α2；c1，c2不都为0． (2)将α0单位化，得η0＝[*] 对α1，α2作施密特正交化，得 [*] 作Q＝(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵，并且 QTAQ＝Q-1AQ＝[*] (3)建立矩阵方程A(α0，α1，α2)＝(3α0，0，0)，用初等变换法求解： 得A＝[*] 由Q-1AQ＝[*] 得A＝Q[*]Q-1． 于是A－(3／2)E＝Q[*]Q-1． [A－(3／2)E]6＝(3／2)6E．
解析
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考研数学二

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