设（C1，C2是任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_______．

admin2020-05-19 61

问题设

（C₁，C₂是任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_______．

选项

答案y’’－2y’＋2y＝0

解析【思路探索】本题可以从不同思路分析：其一，由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由特征方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数C₁，C₂，得所求微分方程．
解法一：根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与对应通解之间的关系可知，特征根为一对复数根：λ_1．2＝1±i，于是特征方程为［λ－（1＋i）］［λ－（1－i）］＝λ²－2λ＋2＝0，
故相应的二阶常系数齐次线性微分方程为

解法二：无须了解所求微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解

，求得

由上面三个式子消去C₁与C₂，得

故应填

【错例分析】本题的典型错误是：由特征方程λ²－2λ＋2＝0写对应的微分方程却写成

，漏了最后一项中的y，这是特征方程的概念不清楚造成的．

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考研数学一

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