设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2019-05-11 41

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=E．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则 P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．

解析

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考研数学二

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设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

考研数学二

设f(χ)∈C[0，1]，f(χ)>0．证明积分不等式：ln∫01f(χ)dχ≥∫01lnf(χ)dχ．

设f(χ)在(0，＋∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(χ)dχ≤f(k)≤f(1)＋∫1nf(χ)dχ．

a，b取何值时，方程组有解?

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其对应的线性无关的特征向量分别为，向量β＝，求Anβ．

设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．

设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)＝n－1，则方程组AX＝0的通解为_______．

设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

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流出法测定粘度的单位是秒。

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以下各项中,属于通用塑料的是()

“是就是，不是就不是；除此之外，都是鬼话。”这种观点属于形而上学否定观。()

喜鹊：树：欢叫

Robb计算机公司试图从表2-5-3所示的两个互斥项目中选择一个项目。如果必要报酬率是10％，而且Robb计算机公司使用盈利指数法进行投资决策，那么公司将选择哪个项目?

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