设A，B是n阶矩阵，E-AB可逆，证明E-BA可逆．

admin2019-03-12 54

问题设A，B是n阶矩阵，E-AB可逆，证明E-BA可逆．

选项

答案(反证法) 如｜E-BA｜=0，则齐次方程组(E-BA)x=0有非零解，设η是其非零解，则 (E-BA)η=0，即BAη=η，且η≠0． (*) 对于齐次方程组(E-AB)x=0，由于 (E-AB)Aη=Aη-(AB)Aη-Aη-A(BAη)=Aη-Aη=0，从(*)式易见Aη≠0．这样(E-AB)x=0有非零解Aη，这与E-AB可逆相矛盾．

解析

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考研数学三

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设A和B都是可相似对角化的n阶矩阵，证明A和B相似A和B的特征值完全相同．
设A=(α1,α2,α3)，B=(β1，β2，β2)都是3阶矩阵．规定3阶矩阵证明C可逆的充分必要条件是A，B都可逆．
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