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  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证

admin2019-02-20  42
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证
           
选项
答案即证[*]考察[*]若能证明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．这可用单调性方法． 令[*]易知F(x)在[0，1]可导，且 [*] 由题设知f(x)在[0，1]单调上升，故f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F’(x)与[*]同号．计算可得 g’(x)=2 f(x)[1－f’(x)]＞0(x∈(0，1))， 结合g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，故g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此 [*] 即结论成立．
解析
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考研数学三

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