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设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证
admin
2019-02-20
42
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证
选项
答案
即证[*]考察[*]若能证明F(x)>0(x∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令[*]易知F(x)在[0,1]可导,且 [*] 由题设知f(x)在[0,1]单调上升,故f(x)>f(0)=0(x∈(0,1]),从而F’(x)与[*]同号.计算可得 g’(x)=2 f(x)[1-f’(x)]>0(x∈(0,1)), 结合g(x)在[0,1]连续,于是g(x)在[0,1]单调上升,故g(x)>g(0)=0(x∈(0,1]),也就有F’(x)>0(x∈(0,1]),即F(x)在[0,1]单调上升,F(x)>F(0)=0(x∈(0,1]).因此 [*] 即结论成立.
解析
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考研数学三
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