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设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x.若f((0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x.若f((0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
admin
2022-09-08
49
问题
设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(e
x
cos y)满足
=(4z+e
x
cos y)e
2x
.若f((0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
选项
答案
由z=f(e
x
cos y)得[*]=f’(e
x
cos y)·(-e
x
sin y), [*]=f”(e
x
cos y)·e
x
cos y·e
x
cos y+f’(e
x
cos y)·e
x
cos y =f”(e
x
cos y)·e
2x
cos
2
y+f’(e
x
cos y)·e
x
cos y, [*]=f”(e
x
cos y)·(-e
x
sin y)·(-e
x
sin y)+f’(e
x
cos y)·(-e
x
cos y)=f”(e
x
cos y)·e
2x
sin
2
y-f’(e
2x
cos y)·e
2x
cos y. 由[*]=(4z+e
x
cos y)e
2x
,代入得 f”(e
x
cos y)·e
2x
=[4f(e
x
cos y)+e
x
cos y]e
2x
, 即 f”(e
x
cos y)-4f(e
x
cos y)=e
x
cos y, 令e
x
cos y=u,得f”(u)-4f(u)=u. 特征方程为λ
2
-4=0,解得λ=±2,得齐次方程通解[*]=C
1
e
2u
+C
2
e
-2u
. 设特解y
*
=au+b,代入方程得a=-1/4,b=0,得特解y
*
=[*]。 则原方程通解为y=f(u)=C
1
e
2u
+C
2
e
-2u
-[*]。 由f(0)=0,f’(0)=0,得C
1
=1/16,C
2
=-1/16,则 [*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zIe4777K
0
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