设α为n维非零列向量，A=E-ααT． (1)证明：A可逆并求A-1； (2)证明：α为矩阵A的特征向量．

admin2019-08-28 49

问题设α为n维非零列向量，A=E-

αα^T．
(1)证明：A可逆并求A^-1；
(2)证明：α为矩阵A的特征向量．

选项

答案(1)因为A²=(E-[*]αα^T)(E-[*]αα^T)=E-*]αα^T+[*]αα^T=E，所以A可逆且A^-1=A． (2)因为Aα=(E-[*]αα^T)α=α-2α=-α，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1。

解析

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