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已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn。 (1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意N∈N*,an+4=
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn。 (1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意N∈N*,an+4=
admin
2015-08-13
53
问题
已知{a
n
}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A
n
,第n项之后各项a
n
+1,a
n
+2,…的最小值记为B
n
,d
n
=A
n
-B
n
。
(1)若{a
n
}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意N∈N
*
,a
n
+4=a
n
),写出d
1
,d
2
,d
3
,d
4
的值;
(2)设d为非负整数,证明:d
n
=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a
n
}为公差为d的等差数列;
(3)证明:若a
1
=2,d
n
=1(n=1,2,3,…),则{a
n
}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1,
选项
答案
(1)d
1
=d
2
=1,d
3
=d
4
=3; (2)(充分性)因为{a
n
}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a
1
≤a
2
≤…≤a
n
≤… 因此A
n
=a
n
,B
n
=a
n
+1,d
n
=a
n
-a
n
+1=-d(n=1,2,3…)d
n
=-d(n=1,2,3…) (必要性)因为d
n
=-d≤0(n=1,2,3…),所以A
n
=B
n
+d
n
≤B
n
又因为a
n
≤A
n
,a
n
+1≥B
n
,所以a
n
≤a
n
+1,于是A
n
=a
n
,B
n
=a
n
+1。 因此a
n
+1-a
n
=B
n
-A
n
=-d
n
=d,即{a
n
}是公差为d的等差数列。 (3)因为a
1
=2,d
1
=1,所以A
1
=a
1
=2,B
1
=A
1
-d
n
=1。故对任意n≥1,A
n
≥B
1
=1。 假设{a
n
}(n≥2)中存在大于2的项。 设m为满足a
n
>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1<k<m,a
k
≤2, 又因为a
1
=2,所以A
m
-1=2,且A
m
=a
m
>2。 于是B
m
=A
m
-d
m
>1,B
m
-1=min{a
m
,B
m
}≥2。 故d
m
-1=A
m
-1-B
m
-1≤0,与d
m
-1=1矛盾。 所以对于任意n≥1,有a
n
≤2,即非负整数列{a
n
}的各项只能为1或2。 因此对任意n≥1,a
n
≤2=a
1
,所以A
n
=2故B
n
=A
n
-d
n
=2-1=1。 因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a
m
=1,即数列{a
n
}有无穷多项为1。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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