2. 职业资格
  3. 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2，…的最小值记为Bn，dn=An-Bn。 (1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意N∈N*，an+4=

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2，…的最小值记为Bn，dn=An-Bn。 (1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意N∈N*，an+4=

admin2015-08-13  56
问题 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2，…的最小值记为Bn，dn=An-Bn。
    (1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意N∈N*，an+4=an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
    (2)设d为非负整数，证明：dn=-d(n=1，2，3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；
    (3)证明：若a1=2，dn=1(n=1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1，
选项
答案(1)d1=d2=1，d3=d4=3； (2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤… 因此An=an，Bn=an+1，dn=an-an+1=-d(n=1，2，3…)dn=-d(n=1，2，3…) (必要性)因为dn=-d≤0(n=1，2，3…)，所以An=Bn+dn≤Bn 又因为an≤An，an+1≥Bn，所以an≤an+1，于是An=an，Bn=an+1。 因此an+1-an=Bn-An=-dn=d，即{an}是公差为d的等差数列。 (3)因为a1=2，d1=1，所以A1=a1=2，B1=A1-dn=1。故对任意n≥1，An≥B1=1。 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项。 设m为满足an＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1＜k＜m，ak≤2， 又因为a1=2，所以Am-1=2，且Am=am＞2。 于是Bm=Am-dm＞1，Bm-1=min{am，Bm}≥2。 故dm-1=Am-1-Bm-1≤0，与dm-1=1矛盾。 所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2。 因此对任意n≥1，an≤2=a1，所以An=2故Bn=An-dn=2-1=1。 因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am=1，即数列{an}有无穷多项为1。
解析
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