2. 考研
  3. 设3阶方阵A的特征值为2，－1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B＝A3－2A2＋4E，试求B-1的特征值与特征向量．

设3阶方阵A的特征值为2，－1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B＝A3－2A2＋4E，试求B-1的特征值与特征向量．

admin2016-06-30  48
问题 设3阶方阵A的特征值为2，－1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B＝A3－2A2＋4E，试求B-1的特征值与特征向量．
选项
答案B＝f(A)，其中f(χ)＝χ3－2χ2＋4．由Aα1＝2α1，两端左乘A，得A2α1＝2Aα1，将Aα1＝2α1代入，得A2α1＝22α1－4α1，类似可得A3α1＝23α1＝8α1，[*]Bα1＝(A3－2A2＋4E)α1＝A3α1－2A2α1＋4α1＝23α1－2.22α1＋4α1＝(23－2.22＋4)α1＝f(2)α1＝4α1，类似可得Bα2＝f(－1)α2＝α2，Bα3＝f(0)α3＝4α3，所以，B的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为α1，α2，α3．因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P＝[α1 α2 α3]可逆，且有P-1BP＝[*]为对角矩阵，两端取逆矩阵，得P-1B-1P[*]，由此知B-1的特征值为[*]，对应特征向量分别为α1，α2，α3．
解析
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考研数学二

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