设f(x)为[0,1]上的连续函数,试证(e—ex2)f(x)dx.

admin2017-03-30  34

问题 设f(x)为[0,1]上的连续函数,试证(e—ex2)f(x)dx.

选项

答案由于二重积分区域D可以表示为0≤y≤1,0≤x≤[*],其图形如图阴影部分所示. [*] 如果换为先对y积分,作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正向看,入口曲线为y=x2,出口曲线为y=1,因此x2≤y≤1,在区域D中0≤x≤1.因此 [*] 原等式成立.

解析 本题实际上是一道交换积分次序的题,对左式可先根据x的积分限画出积分区域D的草图,再由草图所示转化为先对y积分,求出后即得右式.
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