设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt．证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2018-05-23 17

问题设f(x)连续，且F(x)=∫₀^x(x一2t)f(t)dt．证明：
若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案F(x)=∫₀^x(x一2t)f(t)dt=x∫₀^xf(t)dt一2∫₀^xtf(t)dt， F^’(x)=∫₀^xf(t)dt—xf(x)=x[f(ξ)一f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F^’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F^’(x)≥0，从而F(x)单调不减．

解析

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