设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f′(x)＜1(x∈(0，1))．求证： f3(x)dx．

admin2017-11-13 70

问题设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f′(x)＜1(x∈(0，1))．求证：

f³(x)dx．

选项

答案由条件知，f(x)＞0(x∈(0，1])，可转化为证不等式 [*]f³(x)dx＞1．引进辅助函数F(x)=[[*]f(t)dt]²， G(x)=[*]f³(t)dt，又可转化为证不等式 [*] 这可用柯西中值定理．易知F(x)，G(x)在[0，1]可导，G′(x)=f³(x)≠0(x∈(0，1])，于是由柯西中值定理知，[*]ξ∈(0，1)使得 [*] 对[*]f(t)dt与f²(x)还可在[0，ξ]上用柯西中值定理，[*]∈(0，ξ)使得 [*] 因此 [*]

解析

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