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设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(x)<1(x∈(0,1)).求证: f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(x)<1(x∈(0,1)).求证: f3(x)dx.
admin
2017-11-13
80
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(x)<1(x∈(0,1)).求证:
f
3
(x)dx.
选项
答案
由条件知,f(x)>0(x∈(0,1]),可转化为证不等式 [*]f
3
(x)dx>1. 引进辅助函数F(x)=[[*]f(t)dt]
2
, G(x)=[*]f
3
(t)dt,又可转化为证不等式 [*] 这可用柯西中值定理. 易知F(x),G(x)在[0,1]可导,G′(x)=f
3
(x)≠0(x∈(0,1]),于是由柯西中值定理知,[*]ξ∈(0,1)使得 [*] 对[*]f(t)dt与f
2
(x)还可在[0,ξ]上用柯西中值定理,[*]∈(0,ξ)使得 [*] 因此 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Nr4777K
0
考研数学一
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[*]
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