2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f′(x)＜1(x∈(0，1))．求证： f3(x)dx．

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f′(x)＜1(x∈(0，1))．求证： f3(x)dx．

admin2017-11-13  92
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f′(x)＜1(x∈(0，1))．求证：
f3(x)dx．
选项
答案由条件知，f(x)＞0(x∈(0，1])，可转化为证不等式 [*]f3(x)dx＞1． 引进辅助函数F(x)=[[*]f(t)dt]2， G(x)=[*]f3(t)dt，又可转化为证不等式 [*] 这可用柯西中值定理． 易知F(x)，G(x)在[0，1]可导，G′(x)=f3(x)≠0(x∈(0，1])，于是由柯西中值定理知，[*]ξ∈(0，1)使得 [*] 对[*]f(t)dt与f2(x)还可在[0，ξ]上用柯西中值定理，[*]∈(0，ξ)使得 [*] 因此 [*]
解析
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考研数学一

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