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天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a,其中a和q为常数,q满足0<q<1.任取x0,构造选代公式 xn+1=qsinxn+a,n=0,1,2,…. 试证:{xn}收敛,且其极限为开普勒方程的解.
天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a,其中a和q为常数,q满足0<q<1.任取x0,构造选代公式 xn+1=qsinxn+a,n=0,1,2,…. 试证:{xn}收敛,且其极限为开普勒方程的解.
admin
2022-10-31
31
问题
天体力学中的开普勒(Kepler)方程为x=qsinx+a,其中a和q为常数,q满足0<q<1.任取x
0
,构造选代公式
x
n+1
=qsinx
n
+a,n=0,1,2,….
试证:{x
n
}收敛,且其极限为开普勒方程的解.
选项
答案
由选代公式 x
n+1
=qsinx
n
+a.n=0,1,2,… 可得 |x
2
-x
1
|=q|sinx
1
-sinx
0
|=[*]≤q|x
1
-x
0
|; 同理可得 |x
3
-x
2
|≤q|x
2
-x
1
|≤q
2
|x
1
-x
0
; 由数学归纳法,有 |x
n+1
-x
n
|≤q|x
n
-x
n-1
|≤…≤q
n
|x
1
-x
0
|. 由此,对任何p∈N
+
,又有 |x
n+p
-x
n
|≤|x
n+p
-x
n+p-1
|+…+|x
n+1
-x
n
|≤(q
n+p-1
+…+q
n
)|x
1
-x
0
| [*] 因为0<q<1,所以[*].于是对[*]ε>0,[*]N∈N
+
.使得当n>N时,对一切p∈N
+
,有 |x
n+p
-x
n
|≤q
n
[*]<ε, 即{x
n
}满足柯西收敛准则的条件,故存在极限[*]x
n
=1. 因为|sinx
n
-sinl|≤|x
n
-l|,从而[*]sinx
n
=sinl.对选代公式x
n+1
=qsinx
n
+a两边取n→+∞的极限,得l=sinl+a,即l是开普勒方程的解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0SgD777K
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