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  3. 证明不等式3x﹤tanx＋2sinx，x∈。

证明不等式3x﹤tanx＋2sinx，x∈。

admin2019-12-06  42
问题 证明不等式3x﹤tanx＋2sinx，x∈。
选项
答案设f(x)＝tanx＋2sinx－3x，x∈(0，π/2)， 则f’(x)＝sec2x＋2cosx－3， f’’(x)＝2sec2xtanx－2sinx＝2sinx(sec3x－1)， 由于当x∈(0，π/2)时sinx﹥0，sec3x－1﹥0，则f’’(x)﹥0，函数f’(x)＝sec2x＋2cosx－3为增函数，且f’(0)＝0，因此x∈(0，π/2)时，f’(x)＝sec2x＋2cosx－3﹥0，进一步得函数f(x)为增函数，由于f(0)＝0，因此f(x)＝tanx+2sinx-3x﹥f(0)＝0，x∈(0，π/2)，即不等式3x﹤tanx+2sinx，x∈(0，π/2)成立。
解析
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考研数学二

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