证明不等式3x﹤tanx＋2sinx，x∈。

admin2019-12-06 38

问题证明不等式3x﹤tanx＋2sinx，x∈

。

选项

答案设f(x)＝tanx＋2sinx－3x，x∈(0，π/2)，则f^’(x)＝sec²x＋2cosx－3， f^’’(x)＝2sec²xtanx－2sinx＝2sinx(sec³x－1)，由于当x∈(0，π/2)时sinx﹥0，sec³x－1﹥0，则f^’’(x)﹥0，函数f^’(x)＝sec²x＋2cosx－3为增函数，且f^’(0)＝0，因此x∈(0，π/2)时，f^’(x)＝sec²x＋2cosx－3﹥0，进一步得函数f(x)为增函数，由于f(0)＝0，因此f(x)＝tanx+2sinx-3x﹥f(0)＝0，x∈(0，π/2)，即不等式3x﹤tanx+2sinx，x∈(0，π/2)成立。

解析

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