假设: ①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1; ②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2; ③曲线y=f(x),直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

admin2019-02-23  48

问题 假设:
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1;
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2
③曲线y=f(x),直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。
求函数y=f(x)的表达式。

选项

答案由题设可得 ∫0xf(x)dx=ex一1一f(x), 两端求导,得 f(x)=ex一f’(x), 即 f’(x)+f(x)=ex。 由一阶线性方程求解公式,得 f(x)=e—x(∫ex·exdx+C)=Ce—x+[*]ex。 由f(0)=0得C=[*],因此所求函数为 f(x)=[*](ex一e—x)。

解析
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