设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．

admin2019-02-23 83

问题设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)^-1A是对称矩阵．

选项

答案(E＋AB)^-1A对称，就是[(E＋AB)^-1A]^T＝(E＋AB)^-1A． [(E＋AB)^-1A]^T＝A[(E＋AB)^-1]^T＝A[(E＋AB)^T]^-1＝A(E＋BA)^-1．于是要证明的是 (E＋AB)^-1A＝A(E＋BA)^-1．对此式作恒等变形： (E＋AB)^-1A＝A(E＋BA)^-1 [*]A＝(E＋AB)A(E＋BA)^-1(用E＋AB左乘等式两边) [*]A(E＋BA)＝(E＋AB)A(用E＋BA右乘等式两边)．等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．显然成立，于是(E＋AB)^-1A＝A(E＋BA)^-1成立．

解析

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