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已知数列{an}是等比数列，且其公比不为1，a7，5，a6成等差数列，其前n项和为Sn． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意m∈N*，Sm+2，Sm，Sm+1成等差数列．
已知数列{an}是等比数列，且其公比不为1，a7，5，a6成等差数列，其前n项和为Sn． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意m∈N*，Sm+2，Sm，Sm+1成等差数列．
admin
2017-02-14
68
问题
已知数列{a
n
}是等比数列，且其公比不为1，a
7
，
5
，a
6
成等差数列，其前n项和为S
n
．
(1)求数列{a
n
}的公比；
(2)证明：对任意m∈N
*
，S
m+2
，S
m
，S
m+1
成等差数列．
选项
答案
(1)设等比数列{a
n
}的公比为q， 因为a
7
，a
5
，a
6
成等差数列， 故2a
5
=a
6
+a
7
，即2a
1
q
4
=a
1
q
5
+a
1
q
6
， 解得q=1(舍去)或q=一2， 故数列{a
n
}的公比为一2． (2)证明：假设S
m+2
，S
m
，S
m+1
成等差数列， 故2S
m
=S
m+2
+S
m+1
→[*]→2q
m
=q
m+2
+q
m+1
， 又q=一2，故2(一2)
m
=4(一2)
m
一2(一2)
m
． 当m∈N
*
时，上式恒成立， 故原假设成立，对任意m∈N
*
，S
m+2
，S
m
，S
m+1
成等差数列．
解析
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